Nếu f: V → W là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của f ký hiệu ker (f), ảnh của f và hạng của f như sau:

ker ⁡ ( f ) = { x ∈ V : f ( x ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {\ker } (f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}} im ⁡ ( f ) = { f ( x ) : x ∈ V } {\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{\,f(x):x\in V\,\}}

ker(f) là một không gian con của V và im(f) là không gian con của W. Công thức sau đây được xem định lý về số chiều:

dim ⁡ ( ker ⁡ ( f ) ) + dim ⁡ ( im ⁡ ( f ) ) = dim ⁡ ( V ) {\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V)\,} Số dim(im(f)) cũng được gọi là hạng của f ký hiệu là rk(f),hoặc, ρ(f); còn số dim(ker(f)) được gọi là số vô hiệu (nullity) của f và ký hiệu là ν(f). Nếu V và W là hữu hạn chiều, và f được biểu diễn bởi ma trận A, thì hạng và số vô hiệu của f tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A.